24/10/2019 às 17:40

2 – Teoria das Carteiras e Análise de Investimentos: Alpha, Sharpe e Sortino

Felipe Pontes Felipe Pontes

Como investidor, um dos primeiros conceitos que nos deparamos é o de retorno dos investimentos. Contudo, pensar em retornos sem considerar os riscos do investimento pode te levar a tomar decisões equivocadas.

Neste texto nós te explicaremos os conceitos básicos por trás da ideia da tão falada análise do risco e do retorno, bem como apresentaremos algumas medidas clássicas de avaliação de desempenho de carteiras e de fundos de investimentos – de modo a explicar os conceitos por trás do vídeo abaixo.

O texto está dividido da seguinte forma:

1. O que é a Moderna Teoria das Carteiras?
2. Risco e retorno de um ativo
3. Risco e retorno de dois ativos
4. Fronteira Eficiente de Markowitz
5. Alpha de Jensen
6. Índice de Sharpe
7. Índice de Sortino

 

O que é a Moderna Teoria das Carteiras?

A Teoria Moderna de Portfólios (MPT, na sigla em inglês), ou Moderna Teoria das Carteiras, é uma teoria sobre como investidores avessos ao risco podem construir carteiras (portfólios) para otimizar ou maximizar o retorno esperado com base em um determinado nível de risco de mercado.

A teoria foi proposta por Harry Markowitz em seu artigo “Portfolio Selection“, publicado em 1952 pelo Journal of Finance. Mais tarde, em 1990, Markowitz foi agraciado com o Prêmio do Banco da Suécia para as Ciências Econômicas em Memória de Alfred Nobel (popularmente conhecido como Prêmio Nobel de Economia).

Segundo a teoria, o risco é definido como a variância dos retornos – uma medida de volatilidade. Logo, um ativo que apresenta uma alta variância dos retornos é considerado como de alto risco. Neste caso, os investidores iriam escolher ativos com maior retorno dado um menor nível de risco. Essa seleção também levaria em consideração a covariância entre os ativos, que representa a intensidade pela qual os ativos andam juntos.

Segundo a teoria, é possível construir uma “fronteira eficiente” de portfólios, a qual engloba as melhores combinações de ativos que geram os maiores retornos para um determinado nível de risco. A elaboração de uma definição quantificável para o risco em conjunto como uma forma matemática para o cálculo de uma carteira de ativos tornou a Teoria Moderna do Portfólio o marco inicial das finanças modernas.

 

Risco e Retorno de um ativo

O Modelo do Markowitz propõe que um investidor assumirá mais riscos apenas se estiver esperando mais retorno. Segundo a teoria, por serem avessos ao risco, os investidores não comprariam ações mais arriscadas que não possibilitassem retornos esperados maiores.

Segundo o Modelo de Markowitz, o retorno esperado dos ativos individuais é estimado com base nos retornos passados – mas é possível adaptar isso com Análise Técnica ou Análise Fundamentalista. Por exemplo, o investidor que queira estimar o retorno esperado de uma ação, deveria coletar os retornos passados e assumir que a média dos retornos passados será mantida no futuro.

Logo, se o investidor coletou os retornos diários de cinco anos atrás de uma determinada ação, ele calculará a média desses retornos e assumirá que essa média será mantida para os próximos anos. O investidor que quiser, também pode fazer alterações na forma de se calcular os retornos esperados, por exemplo usando Análise Técnica ou Valuation.

Em seguida, com os retornos coletados, o investidor irá calcular a variância dos retornos.

Teoria das Carteiras e Análise de Investimentos: Alpha, Sharpe e Sortino

 

Risco e Retorno de dois ativos

Ao montar uma carteira com dois ativos as coisas já mudam bastante! Neste caso, o retorno esperado será dado pela ponderação entre os dois ativos. Se o investidor alocou igualmente o capital nos dois ativos, teremos o retorno da carteira composto pela ponderação de 50% em cada um deles.

Teoria das Carteiras e Análise de Investimentos: Alpha, Sharpe e Sortino

Por outro lado, a variância de uma carteira formada por dois ativos A e B não é dada apenas pela ponderação entre eles. Neste caso, devemos considerar a covariância entre os ativos A e B, já que “de que adianta colar os ovos em cestas diferentes se você colocar as cestas no mesmo lugar?

Tal covariância é dada por,

Teoria das Carteiras e Análise de Investimentos: Alpha, Sharpe e Sortino

Logo, a variância da carteira é dada pela ponderação da variância do ativo A (𝑋2𝐴 𝜎2𝐴), mais a variância ponderada do ativo B (𝑋2𝐵𝜎2𝐵), mais duas vezes o produto das ponderações dos ativos A e B (2𝑋𝐴𝑋𝐵), vezes a covariância entre os dois títulos (𝜎𝐴,𝐵), conforme a fórmula abaixo:

Teoria das Carteiras e Análise de Investimentos: Alpha, Sharpe e Sortino

À medida em que vamos inserindo mais ativos na carteira, essa fórmula vai crescendo ainda mais. Ainda bem que hoje temos computadores para nos ajudar nisso!

 

Fronteira Eficiente de Markowitz

Toda combinação possível de ativos que existe pode ser plotada em um gráfico, com o risco do portfólio no eixo X e o retorno esperado no eixo Y. Isso inclui títulos, ações, ouro, dólar, ETFs, etc – tudo o que você quiser incluir.

Teoria das Carteiras e Análise de Investimentos: Alpha, Sharpe e Sortino

Esse gráfico revela os portfólios ditos eficientes, segundo a Teoria de Markowitz. Por exemplo, imagine que uma Carteira A tenha um retorno esperado de 10% e um desvio-padrão de 16%, e que outra Carteira B tenha um retorno esperado de 10% e um desvio padrão de 25%. A Carteira A é mais eficiente por apresentar o mesmo retorno esperado com um menor risco (expresso pela volatilidade da carteira).

Com isso, é possível traçar uma fronteira dos portfólios mais eficientes (em vermelho no Gráfico). Investir em qualquer carteira que não esteja nessa curva não é desejável para um investidor racional, conforme definido na Moderna Teoria Financeira como avesso ao risco (medido pela volatilidade).

Agora vamos entender como aplicar a ideia da Moderna Teoria Financeira para avaliar o desempenho de carteiras ou fundos de investimentos. Lembrando que nunca é recomendável avaliar as carteiras e os fundos apenas de forma quantitativa e que também não é recomendável que você analise esses indicadores quantitativos de forma pontual – olhe o desempenho histórico!

 

Alpha de Jensen

O Alpha de Jensen (Desenvolvido por Michael C. Jensen), é uma medida de desempenho ajustada ao risco que representa o retorno médio de um portfólio ou investimento, acima ou abaixo do previsto pelo modelo de precificação de ativos de capital (Capital Asset Pricing Model – CAPM), considerando o beta do portfólio ou investimento e retorno da carteira de mercado.

O CAPM padrão (hoje existem inúmeras variações dele) é definido pela equação abaixo:

Teoria das Carteiras e Análise de Investimentos: Alpha, Sharpe e Sortino

A equação afirma que o retorno esperado para um ativo, fundo ou carteira de ativos (𝐸(𝑅𝑒𝑡𝑖)) é dado pela taxa livre de risco (𝑅𝑓), mais a sensibilidade do retorno do ativo ou carteira de ativos – beta (𝛽) ao prêmio pelo risco do mercado (𝑅𝑚−𝑅𝑓).

Neste caso, para testar o CAPM empiricamente, a seguinte equação de regressão foi desenvolvida (técnica estatística):

Teoria das Carteiras e Análise de Investimentos: Alpha, Sharpe e Sortino

Note que ao retirar a taxa livre de risco do retorno do ativo, o beta da regressão mensurará a sensibilidade do retorno acima da taxa livre de risco. Já o alpha (𝛼) mensurará o retorno anormal – ou seja, em quanto você conseguiu “bater o mercado” ajustando o seu retorno ao risco de mercado.

Logo, se estivermos aplicando o modelo para mensurar o desempenho de um fundo, um alpha positivo (𝛼 > 0) indica que o fundo obteve retornos excedentes ao risco incorrido. Em outras palavras, significa que um administrador de fundos “bateu o mercado” com suas habilidades de seleção de ações (stock picking) ou de market timing.

Por outro lado, se o fundo apresentar um alpha negativo, a implicação é que o mesmo assumiu risco e ainda obteve um retorno anormal abaixo do mercado. Ou seja, era muito melhor ter adotado uma estratégia passiva, no período analisado (o difícil é saber isso a priori, por isso é importante analisar o histórico e não um ano ou outro).

 

Exemplo Prático de Cálculo e Análise do Alpha de Jensen

No gráfico abaixo temos o retorno acumulado de um fundo de investimento (FUNDO (A)) e o retorno do mercado (Ibrx-100). Sem considerar o risco, podemos afirmar que o FUNDO (A) bateu o mercado, já que no acumulado ele apresentou retorno maior, correto? Não se estivermos falando de bater o mercado ajustado ao risco, conforme a MPT!

Teoria das Carteiras e Análise de Investimentos: Alpha, Sharpe e Sortino

Para saber se o fundo “bateu” o mercado, no sentido da Moderna Teoria Financeira, temos que considerar o risco que o gestor do fundo assumiu – que pelo CAPM padrão é apenas o risco de mercado que é considerado.

O fundo pode ser muito mais arriscado que o Mercado (MKT), por isso ele apresentou um retorno maior. Por isso é importante analisar o retorno ajustado ao risco de mercado, já que dessa forma conseguimos separar os gestores ou investidores que são bons só em bull markets (mercados de alta), daqueles que são bons também em situações mais adversas do mercado.

Dessa forma, aplicamos a seguinte regressão:

Teoria das Carteiras e Análise de Investimentos: Alpha, Sharpe e Sortino

Os resultados apresentados na nossa tabela abaixo indicam que o fundo não apresentou alpha (𝛼) significativo estatisticamente. Assim, não é possível afirmar que a equipe de gestão do fundo possui uma habilidade especial para selecionar ações que gerem retorno acima do mercado. Economicamente, sem considerar a significância estatística, o alpha foi muito pequeno (0,0002, ou 0,02%).

Teoria das Carteiras e Análise de Investimentos: Alpha, Sharpe e Sortino
OBS: Esse foi um teste para simplificar a aplicação e facilitar o entendimento. Diversos testes de especificação não foram realizados. 

Esses resultados também não querem dizer que o fundo de investimentos é ruim. A ideia é que eles conseguiram fazer com que seus cotistas ganhassem dinheiro, porém o retorno apresentado não foi dito como anormal. O retorno foi normal, dentro do esperado, com Alpha positivo, mas sem significância estatística.

 

Índice de Sharpe

O índice Sharpe é uma outra métrica de desempenho ajustada ao risco. O índice foi desenvolvido pelo ganhador do Nobel William F. Sharpe e é usado para ajudar os investidores a entender o retorno de um investimento em comparação com seu risco. O índice é formado pelo retorno médio acima da taxa livre de risco dividido pela volatilidade ou risco total. Geralmente, são utilizados dados anuais para fazer a comparação.

Teoria das Carteiras e Análise de Investimentos: Alpha, Sharpe e Sortino

Ao subtrair a taxa livre de risco (𝑅𝑓) do retorno médio, o investidor isola melhor os lucros associados à sensibilidade ao risco. Quanto maior for o Índice de Sharpe, mais atraente é o retorno ajustado ao risco.

 

Limitações do Índice de Sharpe

O índice Sharpe usa o desvio padrão dos retornos como risco total da carteira. Ao usar o desvio padrão, o índice assume que os retornos são distribuídos em torno de uma média (distribuição normal). Porém, os retornos nos mercados financeiros não seguem estritamente uma distribuição normal e apresentam muitas quedas ou picos nos preços.

Em adição, o desvio padrão pressupõe que os movimentos de preços em qualquer direção sejam igualmente arriscados. Contudo, desvios positivos são vantajosos para o investidor, enquanto os desvios para abaixo da média representam perdas – veremos uma saída para isso na próxima seção.

Por fim, por usar apenas uma medida de volatilidade como proxy (ou aproximação) para o risco, alguns fundos que são menos voláteis, mas muito expostos a outros tipos de risco (como de crédito e de liquidez) podem parecer bons, quando, na verdade, não são – a exemplo do fundo abaixo (perceba que ele quase não tinha volatilidade, mas gerou prejuízos aos cotistas).

Teoria das Carteiras e Análise de Investimentos: Alpha, Sharpe e Sortino

 

Índice de Sortino

O índice Sortino é uma métrica de desempenho financeiro criada por Frank A. Sortino. É uma versão alternativa ao índice Sharpe que analisa o desempenho de um fundo ou carteira de investimentos adotando apenas o desvio negativo dos retornos (ideia de semivariância), em vez de usar a variância (ou desvio padrão) total dos retornos da carteira.

A motivação para considerar apenas os desvios negativos é que os desvios negativos causam perdas nos portfolios e os desvios positivos são desejáveis. O Índice de Sortino usa o retorno de um ativo ou portfólio, subtrai a taxa livre de risco e depois divide esse valor pelo desvio padrão apenas dos retornos negativos.

Teoria das Carteiras e Análise de Investimentos: Alpha, Sharpe e Sortino

O índice Sortino é útil para investidores, analistas e gestores de portfólio avaliarem o retorno de um investimento atrelado ao nível do risco de perda. Como o índice usa apenas o desvio negativo como medida de risco, ele resolve o problema de usar o risco total (desvio padrão), já que a parte positiva do desvio padrão é benéfica para os investidores.

A série Billions, na Netflix, eventualmente fala dos indicadores de desempenho. Em um dos episódios eles falaram sobre o Índice de Sortino, inclusive (último episódio da terceira temporada). Mais recentemente, no 2º episódio da 5ª temporada de Billions, eles comentaram sobre o Índice de Sharpe de um analista Quant do fundo.

Lucas Nogueira
Mestre em Finanças pelo PPGA/UFPB
Contribui com textos educativos para o TC SChool

Felipe Pontes

Felipe Pontes

Diretor Educacional do TradersClub

Doutor em Contabilidade com foco em informações contábeis para o mercado de capitais pelo Programa UnB/UFPB/UFRN.
Professor de Contabilidade e Valuation.
Gestor de Clube de Investimento.

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