17/06/2020 às 5:00

Precificação de opções: entenda o modelo Black & Scholes

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Continuando a nossa série de textos sobre os derivativos, hoje falarei dos principais fatores que afetam o seu valor de uma opção. Além disso, iremos apresentar um dos principais modelos de precificação de opções. O artigo é dividido nos tópicos baixo:

  • Precificação de opções – limites inferior e superior do preço de uma opção
  • Quais os fatores influenciam o preço da opção?
  • Juntando os fatores – o modelo Black & Scholes

precificação de opções

Leia mais sobre derivativos e opções:

Precificação de opções

A princípio, em artigos passados, falamos sobre o mercado de derivativos, sobre as opções e como elas são negociadas no Brasil. Abordamos também o valor das opções na data do seu vencimento.

Antes de continuarmos, baixe a nossa planilha para precificação de opções. Abordamos tanto o modelo Black & Scholes, quanto o modelo binomial.

Nesse sentido, chamamos atenção para o fato de que, até o momento, o valor da opção só foi definido na data do vencimento. Todavia, os investidores vão querer saber o valor da opção durante o período da compra da opção até o strike. Reforçamos que este texto é básico. Sendo assim, não iremos tratar de fatores mais avançados da precificação de opções. Nesse sentido, também não entraremos em trades táticos e proteção neste artigo. Futuramente, teremos textos dessa natureza aqui no TC School.

Limites Inferiores e superiores do preço de uma opção

A princípio, vamos definir qual é o limite máximo e mínimo do preço de uma opção. Por exemplo, considere uma opção de compra do tipo americana que está dentro do dinheiro antes do vencimento (in the money). Dessa forma, suponha que o preço da ação no mercado à vista seja de R$ 60 e que o preço de exercício da opção é de R$ 50.

Questões:

  1. Se você puder exercer a opção de compra, quanto ganharia com a operação?
  2. Qual deveria ser o valor mínimo da opção?
  3. Se a opção estiver com um valor de R$ 8,00, a opção deve ser comprada?

Em um mercado eficiente, o valor dessa opção nunca seria menor que R$ 10,0! Veja os motivos:

  • Se a opção estiver no dinheiro (in the money), ela pode ser exercida e gerar um lucro de R$ 10. Logo, ninguém racional iria emitir tal opção.
  • Ao mesmo tempo, em um mercado eficiente, a demanda excessiva por tais opções, nessa situação, rapidamente forçaria o preço da opção para cima, alcançado pelo menos R$ 10 (R$ 60 – R$ 50).

Exemplificando a precificação de opções

Vejamos um resumo deste tipo de operação caso a opção de compra seja cotada por R$ 8. O investidor poderia comprar a opção por R$ 8, executar o seu direito e comprar a ação por R$ 50 e logo depois vender esta mesma ação por R$ 60. O lucro total da operação – desconsiderando os custos de transação – foram de R$ 2, conforme o quadro abaixo.

precificação de opções

Agora, imagine se tal operação fosse feita com 1.000 contratos. Nessa operação, o investidor iria “criar” quase R$ 2.000,00 em lucro de arbitragem.

A questão é: quem iria vender uma opção de compra por R$ 8? Em um mercado eficiente, esse tipo de almoço grátis não iria existir por muito tempo.

Logo, podemos assumir que o Limite Inferior do valor da opção é dado pelo preço da ação menos o preço de exercício.

No caso do exemplo anterior, temos:

(Preço da Ação – Preço de Exercício da Opção) = (60 – 50) = 10.

  • O preço da opção também pode ser maior!
  • Se a opção de compra for negociada por R$ 12, dizemos que o valor intrínseco da opção é de R$ 10, o que significa que ela deve sempre valer, ao menos, esse preço.
  • O restante (R$ 2,0) é chamado de prêmio pelo tempo e representa o montante extra que os investidores estão dispostos a pagar em razão da possibilidade de o preço da ação subir antes que a opção expire.

Limite superior

Por outro lado, o limite superior é o preço da ação subjacente. Ou seja, uma opção para comprar uma ação não pode ter um valor maior que a própria ação, ou seja:

  • Uma opção de compra pode ser usada para comprar uma ação mediante o pagamento do preço de exercício.
  • Comprar uma ação dessa maneira não seria inteligente se ela pudesse ser adquirida diretamente por um preço menor.

Nesse sentido, a figura abaixo mostra um exemplo dos limites inferiores e superiores para uma opção de compra.

A grande questão é: os dois limites podem ter uma amplitude muito grande. Desse modo, como podemos determinar o preço da opção que está entre o limite inferior e superior?

Para responder a esta pergunta, vamos primeiro apresentar os fatores que podem afetar os preços das opções. Abordaremos cada um de forma intuitiva.

Fatores que afetam a precificação de opções

Agora, vamos falar dos fatores que podem afetar o preço das opções entre o dia da compra até o dia do vencimento da opção. Dividimos em fatores relacionados com as características dos contratos de opções, com as características do ativo subjacente (neste caso, ações) e os fatores de mercado. O primeiro e o segundo grupo possuem ambos dois fatores. Já o terceiro grupo, possui três fatores.

opções

Características dos Contratos de Opções

Preço de exercício (Strike)

Um aumento no preço de exercício, reduz o valor da opção de compra.

  • Por exemplo, imagine que existam duas opções de compra de uma ação que está sendo negociada a R$ 60. A primeira opção de compra tem um preço de exercício de R$ 50, enquanto a segunda apresenta um preço de exercício de R$ 40. Qual das duas opções você preferiria ter?
  • Obviamente você preferiria ter a opção de compra com o preço de exercício de R$ 40, pois essa está R$ 20 (R$ 60 – R$ 40) dentro do dinheiro.
  • Em outras palavras, a opção de compra com o preço de exercício de R$ 40 deve ser negociada por um valor maior que outra opção de compra idêntica com um preço de exercício de R$ 50.
Representação gráfica

Vejamos a representação do aumento no preço de Strike, afastando a probabilidade da opção de compra ficar in the money.

strike de uma opção

Data de vencimento

Além de tudo, o valor de uma opção de compra americana deve ser, ao menos, igual ao valor de outra opção idêntica com um prazo menor até o vencimento.

Por exemplo, considere as duas opções de compra americanas a seguir:

  • Uma vence em 9 meses
  • A outra vence em 6 meses

A opção de compra de 9 meses tem os mesmos direitos que a opção de compra de 6 meses, e, além disso, permite que esses direitos sejam exercidos em um período 3 meses maior.

Representação gráfica

Vejamos a representação do aumento no prazo até o vencimento de Strike, elevando a probabilidade da opção de compra ficar in the money.

vencimento de uma opção

Fatores baseados em características da ação

Preço da ação

Com todos os outros elementos permanecendo iguais, quanto maior o preço da ação, mais valiosa será a opção de compra. Por exemplo, se uma ação estiver sendo negociada a R$ 80, uma opção de compra com preço de exercício de R$ 100 não tem valor. Se a ação subir para R$ 120, a opção de compra se torna muito mais valiosa.

Vejamos a representação gráfica do aumento do preço da ação elevando a probabilidade da opção de compra ficar in the money.

Variabilidade dos preços do ativo subjacente

Quanto maior a variabilidade dos preços do ativo subjacente, maior será o valor da opção de compra. Vamos considerar o seguinte exemplo:

Situação 1
  • Suponha que, um pouco antes da opção de compra expirar, o preço da ação seja de: (a) R$ 100, com probabilidade de 50% ou (b) R$ 80, com probabilidade de 50%;
  • Qual será o valor de uma opção de compra com um preço de exercício de R$ 110? Está claro que ela não terá valor, pois, independentemente do que acontecer com a ação, seu preço será sempre abaixo do preço de exercício;
Situação 2
  • Suponha que adicionemos R$ 20 ao melhor caso e retiremos R$ 20 do pior caso (ou seja aumentamos a variabilidade dos retornos possíveis);
  • Assim, a ação tem (a) 50% de chance de valer R$ 120 e (b) 50% de chance de valer R$ 60;
  • Observe que a opção de compra agora tem valor, pois existe uma uma chance de 50% do preço da ação ser de R$ 120 (R$ 10 acima do preço de exercício de R$ 110).

Dessa forma, vejamos agora a representação gráfica do aumento da variabilidade dos retornos da ação elevando a probabilidade da opção de compra ficar in the money.

Fatores baseados em características do mercado

Taxa de Juros

Além de tudo, os preços das opções de compra também dependem do nível das taxas de juros. Os compradores das opções de compra não pagam o preço de exercício até exercerem a opção, se optarem por exercê-la. Poder adiar o pagamento tem mais valor quando as taxas de juros são altas e menos valor quando as taxas de juros são baixas. Portanto, o valor de uma opção de compra é relacionado positivamente com as taxas de juros.

Resumo dos fatores

Finalmente, podemos resumir os fatores conforme demonstrado no quadro abaixo:

Obs: O preço da opção de compra nunca pode ser maior que o preço da ação. Ou seja, menor que o limite superior. O preço da opção de compra nunca será menor que zero ou que a diferença entre o preço da ação e o preço de exercício, ou seja, menor que o limite inferior. Quando o preço da ação é muito maior que o preço de exercício, o preço da opção de compra tende a variar em direção à diferença entre o preço da ação e o valor presente do preço de exercício.

Juntando os fatores: o modelo Black & Scholes

Agora, que já sabemos quais os fatores afetam os preços das opções, vamos juntar todos eles em um modelo de precificação de opções. Lembramos que este modelo revolucionou a economia financeira e a sua derivação é complicada para demonstrar neste artigo. Sendo assim, vamos focar na apresentação do modelo Black & Scholes (1973) e na sua aplicação na precificação de opções. A fórmula do modelo está disposta abaixo (sim, sabemos que ela é complicada kkk).

O modelo Black & Scholes

Para a precificação de uma opção de compra (C), temos a seguinte equação:

precificação de opções: modelo black scholes

Já para a precificação da opção de venda (P), usamos a equação:

precificação de opções: modelo black scholes

Onde:

  • C = Preço da Opção de Compra (Call)
  • P = Preço da Opção de Venda (Put)
  • d1 e d2:

precificação de opções: modelo black scholes

precificação de opções: modelo black scholes

  • S = Preço atual da ação;
  • E = Preço de Strike;
  • e = É o número de Euler (aprox. 2,7182)
  • R = Taxa livre de risco (com capitalização composta);
  • σ =Variância (anual) do retorno contínuo da ação;
  • t = Prazo (em anos) até a data de vencimento;
  • N(d) = Probabilidade de que uma variável aleatória padronizada e com distribuição normal, seja menor ou igual a d

Aplicação do Modelo Black & Scholes

Considere a Empresa X, cujas ações EMPX3 são negociadas em bolsa.

  • No dia 4 de outubro do ano 20×0, a opção de compra com strike de R$ 49 tinha um valor de fechamento de R$ 4.
  • A ação em si estava sendo negociada a R$ 50.
  • No dia 4 de outubro, a opção apresentava 199 dias até seu vencimento.
  • A taxa de juros sem risco anual, com capitalização contínua, era de 7%.

Com base nessas informações, já temos quatro variáveis:

  1. O preço da ação, S, é de R$ 50.
  2. O preço de exercício, E, é de R$ 49.
  3. A taxa sem risco, R, é de 7%.
  4. Inserimos o intervalo de 199 dias em anos como t = 199/365 = 0,5452
  5. Precisamos da variância dos retornos!

A fórmula de Black-Scholes (1973) exige a variância entre a data de aquisição de 4 de outubro e a data de vencimento. Naturalmente isso representa o futuro. Portanto, o valor correto para a variância não está disponível (a variância futura não é diretamente observável, apenas estimável).

Em vez disso, para a precificação de opções, os traders frequentemente fazem uma estimativa a partir de dados do passado. Visando manter a simplicidade, vamos usar a variância passada como estimativa razoável da variância futura!

Para o caso do exemplo, a variância dos retornos das ações da Empresa X foi estimada em 9% a.a.. Para obter este valor, é preciso calcular a variância dos logaritmos dos retornos da ação. A fórmula do log retorno pode ser estimada da seguinte forma:

Com os 5 parâmetros, calculamos o valor de Black & Scholes da opção de compra da em três etapas:

Etapa 1: Calcular d1 e d2

modelo black scholes

modelo black scholes

Etapa 2: Calcular N(d1) e N(d2).

A função N(x) é a função de distribuição de probabilidade cumulativa para uma variável com distribuição normal padrão (distribuição gaussiana). Em outras palavras, ela é a probabilidade de que uma variável com distribuição normal padrão será menor do que x.

Para ajudar nesse processo, você pode fazer o uso da tabela de distribuição normal, utilizada para inferências estatísticas.

N(d) é a probabilidade acumulada de d:

Dessa forma, o primeiro valor significa que há 64,59% de probabilidade de um resultado da distribuição normal padronizada estar abaixo de 0,3742. O segundo valor indica que há 56,07% de probabilidades de um resultado da distribuição normal padronizada estar abaixo de 0,1527.

No Microsoft Excel, é possível calcular a probabilidade acumulada usando a fórmula:

=DIST.NORM.N(x;0;1;VERDADEIRO)

=DIST.NORM.N(0.3742;0;1;VERDADEIRO)

=0.645872238

Etapa 3: Calcular C. Ou seja, o valor intrínseco da Opção:

Modelo Black & Scholes

Logo, seguindo o nosso exemplo de precificação de opções usando o modelo Black & Scholes, a opção teria um valor intrínseco de R$ 5,85 por ação.

Conclusão

Por fim, o valor estimado pelo modelo é de R$ 5,85. O preço real é de R$ 4,00. O modelo sugere que a opção de compra está subprecificada. Um trader seguindo apenas o modelo Black & Scholes compraria a opção de compra.

Até a próxima! Não esqueça de acompanhar este e outros textos no TC School

Referências

BLACK, Fischer; SCHOLES, Myron. The pricing of options and corporate liabilities. Journal of political economy, v. 81, n. 3, p. 637-654, 1973.

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