01/07/2020 às 5:00

Precificação de opções: entenda o modelo binomial

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Neste artigo, vamos falar de uma técnica de precificação de opções conhecida como modelo binomial (árvore binomial). Nesse sentido, os principais pontos que serão tratados encontram-se abaixo:

  • O modelo binomial – Estimando os preços das opções ao simular decisões de executá-las ou não
  • Árvores binomiais – Caminhos que podem ser seguidos pelo preço do ativo subjacente
  • Black & Scholes x modelo binomial – Confrontando os modelos de precificação de opções

Boa leitura!

modelo binomial

Leia mais sobre derivativos:

O Modelo Binomial

Em artigos passados, falamos sobre o limite inferior e superior de uma opção, dos possíveis fatores que influenciam a precificação de opções e como eles se encaixam no modelo Black & Scholes.

Por sua vez, o modelo binomial de precificação de opções, é um método de avaliação de opções desenvolvido em 1979 por Cox, Ross e Rubinstein (1979). O modelo binomial usa um procedimento interativo, permitindo a especificação de nós ou pontos no tempo, durante o período entre a data de avaliação e a data de vencimento da opção.

Nesse sentido, o modelo binomial é expresso por um diagrama denominado “árvore binomial”. Esta árvore representa os diferentes caminhos que podem ser seguidos pelo preço do ativo subjacente. Neste artigo, vamos utilizar as opções de ações, dada a sua maior popularidade.

Em essência, o modelo binomial busca determinar o preço de uma opção pela comparação de duas estratégias que devem ser realizadas paralelamente:

  1. A compra direta da opção
  2. A “replicação” da opção, por meio da compra da ação e da tomada de empréstimo

A lógica do modelo

Os fluxos de caixa da segunda estratégia demonstrada acima, devem corresponder aos fluxos de caixa da aquisição de uma opção de compra (Primeira Estratégia). Dessa forma, ao comprar uma ação, o investidor é exposto ao risco daquela ação. Além disso, ao tomar um empréstimo, o investidor deverá pagar um montante ao final do período. Esse montante vai abater a rentabilidade obtida pela ação no futuro. Dessa forma, se ambas as estratégias possuírem o mesmo fluxo de caixa, é possível assumir que elas devem ter o mesmo custo.

Exemplificando

Parece complicado, mas vamos usar alguns números para elucidar o assunto.

Primeiramente, vamos supor que você esteja avaliando uma opção de compra de alguma ação. Suponha que o preço atual de mercado de uma ação seja de R$ 50,00 e que esse valor, daqui a um ano, pode se subir para R$ 60,00 ou pode cair para R$ 40,00:

modelo binomial

Além disso, imagine uma opção de compra dessa ação com data de vencimento em 1 ano e preço de exercício de R$ 50. Vamos assumir que os investidores podem tomar empréstimos nas suas respectivas corretoras por uma taxa de 10% a.a..

Dessa maneira, vamos tentar avaliar essa opção de compra com base nas duas estratégias que abordamos acima. Iniciaremos observando os resultados possíveis para a ação. No final do ano, os resultados futuros para a ação estarão definidos conforme a tabela abaixo. Não estamos considerando o preço de compra da ação ainda.

modelo binomial

E se comprarmos a opção?

A tabela abaixo apresenta o resultado no caso de alta e no caso da baixa da ação. Caso a ação suba para R$ 60,00, a opção terá valor no vencimento, já que o preço da ação está acima do strike de R$ 50,00. Neste caso, o investidor executa a opção, compra a ação por R$ 50 e vende por R$ 60. Por outro lado, se o preço da ação cair, teremos uma opção sem valor.

modelo binomial

Note que, assim como no caso da ação, não consideramos o preço de compra da opção. Agora, pense no seguinte: como poderíamos replicar o mesmo fluxo de caixa da opção acima? Ou seja, R$ 10 ou 0. O modelo binomial indica que seria possível replicar a opção usando uma combinação entre empréstimo e compra da ação.

Assim poderíamos fazer as duas operações abaixo:

  1. Comprar meia ação (obs: pense no caso de um investidor que ia comprar 1.000 ações e agora vai adquirir 500);
  2. Tomar um empréstimo de R$ 18,18, implicando um pagamento de principal e juros no final do ano de R$ 20.

A estratégia acima, produz os seguintes fluxos de caixa:

modelo binomial

Nesse sentido, a estrutura dos resultados de ambas as estratégias é a mesma. Logo, a estratégia de comprar uma opção de compra é “duplicada” pela estratégia de comprar uma ação e tomar empréstimo. Sob qualquer uma das estratégias, um investidor acabaria com R$ 10 se o preço da ação subisse e R$ 0 se o preço da ação caísse.

Se ambas geram os mesmos fluxos de caixa em um ano, então o custo da estratégia deve ser o mesmo. Podemos calcular o custo da estratégia acima como:

modelo binomial

Logo, segundo o Modelo Binominal, o preço da opção de compra é de R$ 6,82.

Como sabemos que deveríamos ter comprado 50% de Ações?

Vamos definir uma forma de descobrir este número que chamaremos de Delta. O preço da opção de compra no final do ano será de R$ 10 ou R$ 0 se o preço da ação for de R$ 60 ou R$ 40, conforme o nosso diagrama abaixo.

opções

Logo, o preço da opção de compra oscila R$ 10 (R$ 10 – R$ 0) no próximo período, enquanto o preço da ação tem uma oscilação de R$ 20 (R$ 60 – R$ 40). Podemos escrever ambas as relações conforme a fórmula do Delta, abaixo.

grega delta opções

Desse modo, uma oscilação de R$ 1,00 no preço da ação gera uma oscilação de R$ 0,50 no preço da opção de compra. Como estamos tentando duplicar a opção de compra com a ação, parece mais sensato comprar meia ação do que comprar uma opção de compra. Em outras palavras, o risco de comprar meia ação deve ser igual ao risco de comprar uma opção de compra.

Formalizando, temos:

opções

Com os valores que comentamos anteriormente, temos:

opções

Árvores binomiais

Agora, vamos adicionar mais informações, visando refletir melhor a realidade. Primeiro, alguém poderia dizer que o exemplo acima é irreal, já que assumimos apenas dois preços para a ação em 1 ano (R$ 60 ou R$ 40). Qualquer investidor de ações sabe que os preços não vão subir em linha reta. Dessa forma, temos diversos caminhos que os preços podem cair ou subir. Para ilustrar, iremos fazer um exemplo de uma opção com vencimento em 50 dias usando uma árvore binomial.

As árvores binomiais – das quais também podem ser trinômios ou quadrinômios – apresentam, na forma de uma árvore ramificada, a evolução dos possíveis valores do ativo subjacente durante a vida útil da opção. Uma solução ideal para todo o problema é obtida otimizando as decisões futuras em vários pontos de decisão e trazendo-as a valor presente.

Abaixo, temos um exemplo de árvore binomial, onde o S0 é o valor inicial do ativo. Em nosso caso, uma ação. No primeiro “nó” de tempo, ele pode subir ou descer e a partir daí continuar subindo ou descendo em outros “nós” de tempo seguintes. Os movimentos para cima e para baixo são representados pelos fatores u e d, em que u é > 1 e d é <1 e assumimos que u = 1 / d. A magnitude desses fatores depende da volatilidade do ativo subjacente. Os últimos nós no final da árvore binomial representam o intervalo de possíveis valores de ativos no final da vida útil da opção.

Abordagem para cálculo

As árvores binomiais podem ser resolvidas para calcular os valores das opções usando duas abordagens diferentes:

  • Replicação de portfólios (similar ao que vimos no começo deste texto)
  • Probabilidades neutras ao risco (vamos ver agora)

A metodologia básica da abordagem de probabilidades neutras ao risco envolve ajustar os fluxos de caixa ao longo da estrutura com probabilidades neutras a riscos e descontá-los à taxa livre de risco. Independentemente da opção a ser avaliada, a árvore binomial que representa o valor do ativo subjacente possui as mesmas propriedades e pode ser descrita pelas equações apresentadas abaixo.

Os fatores para cima e para baixo, u e d, são uma função da volatilidade do ativo subjacente e podem ser descritas da seguinte maneira:

modelo binomial

Em que, u  e d são funções de volatilidade dos ativos subjacentes. Neste caso, u é o quanto o ativo pode subir (up) e d é o quanto o ativo pode descer (down). σ é a volatilidade, representada pelo desvio padrão do logaritimo natural dos retornos. N é o tempo associado com cada um dos períodos estudados (i.e., a frequência das observações). e é o número de Euler (aprox. 2,7182).

A probabilidade de termos uma subida ou descida é dada por:

modelo binomial

Aplicando o modelo binomial

Vamos usar os mesmos dados do nosso artigo anterior: Precificação de opções: entenda o modelo Black & Scholes. Porém, vamos mudar a maturidade de 199 dias para 5 dias. Estamos fazendo isso para que a árvore caiba no artigo. No entanto, a tabela anexa mostra o resultado com 199 dias.

Considere a Empresa X, cujas ações EMPX3 são negociadas em bolsa.

  • No dia 4 de outubro do ano 20×0, a opção de compra com strike de R$ 49 tinha um valor de fechamento de R$ 4.
  • A ação em si estava sendo negociada a R$ 50.
  • No dia 4 de outubro, a opção apresentava 5 dias até seu vencimento.

A taxa de juros sem risco anual, com capitalização contínua, era de 7%.

Com base nessas informações, já temos as seguintes variáveis:

  1. O preço da ação, S, é de R$ 50;
  2. O preço de exercício, E, é de R$ 49;
  3. A taxa sem risco anual, R, é de 7% a.a;
  4. A maturidade é de 5 dias;
  5. A variância foi estimada em 9% a.a. Que resulta em um desvio padrão de  = 30% (Volatilidade Anual).

Modelo binomial prática

Como vamos usar a frequência diária, ou seja, cada dia teremos um novo nó na árvore binomial, todos os inputs devem ser convertidos para dias! Neste caso, devemos converter a taxa sem risco e a volatilidade que estão em anos para dias. Usaremos um ano de 365 para ficar similar ao exemplo de aplicação do Black & Scholes do artigo anterior.

Logo, a taxa sem risco de 7% pode ser convertida usando a fórmula:

modelo binomial

A volatilidade pode ser convertida usando a fórmula:

modelo binomial

Agora, vamos substituir estes valores nas fórmulas.

modelo binomial

A probabilidade de o preço subir é de:

modelo binomial

Obs: essas são probabilidades neutras ao risco. Para mais detalhes consulte o Hull (2015).

Consequentemente, a probabilidade de o preço cair é de:

modelo binomial

Pronto. Temos todos os dados necessários para montar a árvore. Como são 5 dias, teremos 5 nós. O exemplo do artigo anterior, que tinha 199, não iria caber no artigo. É por isso que vamos disponibilizar uma planilha para os interessados em acompanhar por lá. Vamos aos passos para montar a árvore.

Primeiro Passo: Estimando os preços da ação

Note que o preço hoje é de R$ 50,00. Segundo nossa simulação, amanhã, o preço pode ser subir em um fator de u ou cair em um fator de d. Veja o exemplo para os próximos 5 dias:

modelo binomial

No dia 1, o preço pode subir para R$ 50,8, ou cair para R$ 49,2. Veja abaixo, o exemplo para o primeiro dia.

modelo binomial

Como já temos o valor da ação, vamos avaliar a opção de compra

No caso de um modelo binomial, temos que observar o payout da opção quando o investidor pode executar a ação naquele preço para aquele dia.

O preço (c) de uma opção (i) em um determinado dia (t) é dado por:

Traduzindo, isso quer dizer que, para determinado preço i em um dia t, o investidor compara o payout que iria receber com a ação caso fosse exercida hoje:

 (Preço da açãoit – Strike)

com a probabilidade do payout do dia seguinte descontado para o dia presente:

(p x Preço(u) + (1-p) Preço(d)) x e-Rf

Logo, todos os dias ele faz uma escolha entre executar hoje, ou esperar para executar amanhã, dada uma probabilidade do preço subir ou cair. O valor da opção é o maior valor entre:

Preço da açãoit – Strike

e

(p x Preço(u) + (1-p) Preço(d)) x e-Rf

Devemos aplicar essa fórmula “do futuro para o presente”. Se aplicarmos tal fórmula corretamente em todos os valores, temos os seguintes resultados. Note que nos preços menores (tempo 4 e 5, e nós 4 e 5), como o preço da ação não superou o strike, o valor da opção é zero.

modelo binomial

Ou seja, o preço da opção de compra é de R$ 1,337 hoje (tempo zero).

Para achar o preço da opção de venda,  basta realizar algumas modificações na fórmula, multiplicando o termo Preço da açãoit – Strike por -1. Neste caso, o valor da opção de venda é dado conforme a tabela abaixo. Ou seja, temos um valor para a opção de venda de R$ 0,29 hoje.

modelo binomial

Modelo binomial x Black & Scholes

Por fim, vejamos como estes valores se comparam com os valores obtidos usando a fórmula de Black & Scholes do artigo passado? Vamos dar uma olhada…

Para o preço de uma opção de compra (C), temos a seguinte equação:

Para a fórmula da opção de venda (P), usamos a equação:

Cálculo do d1 e d2:

black & scholes

black & scholes

N(d) é a probabilidade acumulada de d:

black and scholes

Cálculo C e do P (O valor intrínseco da Opção)

Assim, de acordo com o modelo Black & Scholes, a opção de compra deveria ser cotada por R$ 1,34 e a opção de venda deveria ser cotada por R$ 0,29. Note que os valores foram bem similares aos que foram obtidos com o modelo binomial.

Referências

COX, John C.; ROSS, Stephen A.; RUBINSTEIN, Mark. Option pricing: A simplified approach. Journal of Financial Economics, v. 7, n. 3, p. 229-263, 1979.

Até mais! Acompanhe este e outros textos no TC School!

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